Was haben wir gelernt? Und einige fundierte Vermutungen

Gödels Unvollkommenheitstheorie

Gödel ist einer der grossen Mathematiker des letzten Jahrhunderts. Unter anderem arbeitete er an den Grundlagen der Mathematik. Ihn interessierte die Frage, ob Mathematik «vollständig» ist. Um zu verstehen, was damit gemeint ist, brauche ich zuerst kurz den Begriff des Axioms.

Ein Axiom ist eine Annahme in einem mathematischen System, die nicht bewiesen wird. Mathematik kommt ohne solche Annahmen nicht aus. Ein bekanntes (wenn auch etwas vereinfachtes) Beispiel ist: $1+1=2$. Es wirkt so offensichtlich, dass man versucht ist zu sagen: «Dafür braucht es keinen Beweis.» Genau das ist die Intuition hinter Axiomen.

Als Axiom wählt man Aussagen, denen (im gewünschten Kontext) alle zustimmen können. Das bedeutet aber nicht: «Was mir offensichtlich erscheint, erkläre ich einfach zur Wahrheit.» Denn was für die eine Person offensichtlich ist, ist es für die andere vielleicht nicht. Darum schreiben Mathematiker ihre Axiome explizit auf und sagen sinngemäss: «Unter diesen Annahmen mache ich Mathematik.» Dann kann jede andere Person prüfen, ob die Schlussfolgerungen unter diesen Annahmen korrekt sind.

Ein Beispiel für solche Annahmen:

• A: 0 ist eine Zahl
• B: 1 ist eine Zahl
• C: Wenn $x$ eine Zahl ist, dann gilt: $x + 0 = x$
• D: Wenn $x$ eine Zahl ist, dann ist $x + 1$ auch eine Zahl
• E: $x+1 > x$

Mathematiker würden (zu Recht) sagen, dass das nicht formal genug ist. Für unsere Zwecke reicht es. Und man sieht: Solche Aussagen sind fast banaler Natur. Trotzdem lässt sich daraus bereits eine Aussage beweisen, die für Kinder eine echte Offenbarung ist: «Es gibt keine grösste Zahl.»

Beweis durch Widerspruch:

Angenommen, es gäbe eine grösste Zahl. Nennen wir sie $y$. Dann folgt aus D, dass $y+1$ ebenfalls eine Zahl ist. Nennen wir sie $z$. Aus E folgt $z>y$. Das widerspricht der Annahme, dass $y$ die grösste Zahl ist. Also gibt es keine grösste Zahl.

Das alles klingt nach spitzfindiger Haarspalterei, die Mathematiker betreiben, um Probleme zu lösen, die niemand hat. Und genau so dachte ein grosser Teil der Mathematik zu Beginn des 20. Jahrhunderts. Hier kommt Gödel ins Spiel. Die Beweisidee ist nicht «schwer», aber sie sprengt den Rahmen dieses Textes. (Wenn dich das interessiert: Sag’s, dann schreibe ich gern eine separate Erklärung.)

Die Kernaussage ist: Egal, wie viele Axiome du aufschreibst — es wird immer wahre Aussagen geben, die sich aus deinen Axiomen nicht beweisen lassen. Mathematik ist also unvollständig. Selbst mit «fünf Milliarden» Axiomen wirst du nie alle wahren mathematischen Aussagen beweisen können.

Was bedeutet das?

Die Hoffnung war einmal: Wenn wir nur genug forschen und schlau genug werden, können wir alles beweisen. Gödel zeigt: Nein — es gibt prinzipielle Grenzen.

Für mich folgt daraus: Egal, wie unser formales Denksystem aussieht, es bleiben immer Dinge, die für uns in diesem System unzugänglich sind. Praktisch heisst das: Man braucht eine Art, mit «nicht beweisbaren» Aussagen umzugehen. Aber man darf auch nicht ins andere Extrem kippen und behaupten, alles sei unbeweisbar. Schon die Behauptung, etwas sei unbeweisbar, kann (in einem anderen System) wieder beweisbar sein.

Wichtig: Das bedeutet nicht, dass man «nichts» beweisen kann. Mathematische Beweise liefern eine Art Gewissheit, die im Alltag selten vorkommt. Ich bin mir sicherer, dass es keine grösste Primzahl gibt, als dass ich einen Vater und eine Mutter habe. Letzteres ist zwar praktisch sicher, aber nicht logisch zwingend. Mathematische Gewissheit ist — wenn sie einmal sauber bewiesen ist — unerbittlich.

Komplexitätstheorie

Als Informatiker bin ich ständig mit Analysen über die Komplexität von Algorithmen konfrontiert. «Algorithmus» klingt gross, meint aber oft etwas Banales: einen Prozess, ein Verfahren. Zum Beispiel: der kürzeste Weg von A nach B. Man kann dann fragen, wie viel Zeit dieser Prozess im Durchschnitt, im besten oder im schlimmsten Fall braucht.

Komplexitätstheorie handelt genau von solchen Fragen: Was ist schneller? Was lässt sich optimieren? Bevor ich Informatik studierte, dachte ich naiv: «Wenn man nur sauber programmiert, wird es schnell.» Das stimmt manchmal — aber nicht immer. Manche Probleme bleiben langsam, selbst wenn man sie optimal implementiert.

Es gibt Aufgaben, die in der Praxis gut lösbar sind (z. B. sortieren, kürzeste Wege in grossen Netzen). Andere werden aber sehr schnell absurd schwierig. Ein Beispiel ist Routenplanung mit vielen Zwischenstopps, bei denen die Reihenfolge egal ist (klassisch: Varianten des Traveling-Salesman-Problems): Das skaliert exponentiell.

Und selbst bei Problemen, für die wir den «optimalen» Algorithmus kennen, kann das Ergebnis praktisch unbrauchbar sein. Schach ist ein schönes Beispiel: Perfektes Schach lässt sich «in Prinzip» berechnen, aber der dafür nötige Aufwand ist so gewaltig, dass das Universum eher aufhört zu existieren, als dass der Algorithmus fertig wird.

Was bedeutet das?

Nach Gödel kommt hier eine andere Art von Grenze: Es gibt Probleme, die lösbar sind. Es gibt eine eindeutige Antwort, und wir wissen sogar, wie man sie findet. Und trotzdem sind sie so langsam, dass sie praktisch als unlösbar gelten müssen.

Das ist weniger abstrakt als Gödel. Es gibt eine ganze Klasse solcher Probleme (Stichworte: NP‑vollständig, EXP‑Time). Wären diese effizient lösbar, sähe unsere Welt anders aus: neue Medikamente, optimierter Verkehr, und gleichzeitig wären viele Verschlüsselungsverfahren kaputt.

Und wichtig: Das ist nicht «nur» eine Grenze des Menschen. Wenn es keinen schnellen Algorithmus gibt, dann ist das auch eine Grenze für Maschinen — auch für KI.

Halteproblem

Spätestens hier ist endgültig klar: Informatik.

Das Halteproblem ist ein Thema, von dem viele nie hören — ausser sie studieren Informatik oder interessieren sich privat dafür. Und doch wäre die Welt völlig anders, wenn es lösbar wäre. Aber es ist es nicht.

Worum geht es?

Wir betrachten einen Algorithmus (ein Programm) und fragen: Hält er an — oder läuft er für immer? Die erste Intuition ist: «Schau den Code an. Wenn da eine Schleife ist, dann weiss man es.» Leider gibt es sehr viele Programme, bei denen man gerade nicht entscheiden kann, ob sie anhalten.

Was bedeutet das?

Vorher hatten wir Probleme, die «nur» praktisch unlösbar sind. Jetzt kommt etwas Seltsameres:

Ein Programm ist eindeutig. Entweder hält es an oder es hält nicht an. Dazwischen gibt es nichts. Und trotzdem gibt es keinen allgemeinen Prozess, der diese Frage für beliebige Programme zuverlässig beantworten kann.

Chaostheorie

Eine weitere Einschränkung unserer Möglichkeiten: Chaos.

«Chaos» meint hier nicht Alltagchaos, sondern einen mathematischen Begriff. Ein chaotisches System entwickelt sich je nach kleinsten Unterschieden im Ausgangszustand in völlig unterschiedliche Richtungen. Der Klassiker ist das Doppelpendel: Die Bewegung ist durch Naturgesetze klar bestimmt — und trotzdem ist es praktisch unmöglich, hinreichend weit in die Zukunft präzise vorherzusagen, wo es nach 100 Sekunden sein wird.

Viele relevante Systeme verhalten sich in diesem Sinn chaotisch: Wetter, langfristige Bahnprognosen, komplexe Stoßsysteme (z. B. viele Billardkugeln), und auch biologische bzw. medizinische Prozesse. Könnten wir diese Systeme zuverlässig «lösen», hätten wir Therapien für eine Vielzahl von Krankheiten.

Was bedeutet das?

Wieder eine Grenze — aber diesmal sehr praktisch.

Manche behaupten (oft nicht Wissenschaftler), die Welt bestehe «im Grunde» nur aus ein paar Naturgesetzen, und alles andere sei nur Ableitung. Daran ist einiges schief. Schon unsere aktuelle Physik ist kein vollständiges, widerspruchsfreies Gesamtbild. Und selbst wenn sie es wäre: Chaos bleibt.

Um von kleinen Systemen verlässlich auf grosse zu schliessen, müssten wir chaotische Effekte vollständig kontrollieren. Das gelingt in idealisierten Modellen vielleicht — in der realen Welt aber selten.

Das zwingt uns zu Abstraktionen, die nicht einfach «aus der Physik heraus» deduzierbar sind. Physik ersetzt nicht Chemie, Chemie ersetzt nicht Biologie, und bei Psychologie und Soziologie wird es erst recht schwierig.

Folge: Wir müssen oft mit statistischen, vereinfachenden und (im strengen Sinn) «falschen» Theorien arbeiten, weil die präzisere Wahrheit für uns unerreichbar bleibt. Das macht solche Modelle nicht wertlos — nur begrenzt.

Gradientenoptimierung

Das waren einige harte Grenzen. Sind wir damit grundsätzlich gelähmt?

Nicht ganz. Statt einer universellen Theorie können wir oft eine universelle Methode nutzen: Optimierung.

Im maschinellen Lernen wird das sehr konkret: Man baut ein System, das wenig «versteht». Es nimmt die Welt wahr, aber kennt die zugrunde liegenden Gesetze nicht. Dann gibt man ihm ein Feedback‑Signal: Wie gut war diese Aktion? Und das System versucht nicht zuerst, alles zu erklären, sondern iterativ besser zu werden.

Das Bild dazu: Ein Roboter steht am Berg und sieht nur einen Meter weit. Statt zu jammern, dass er den Gipfel nicht sieht und deshalb keinen perfekten Plan machen kann, macht er einfach den nächsten Schritt bergauf — und dann den nächsten. Irgendwann ist er oben. Vielleicht nicht auf dem Mount Everest, aber auf einem Berg, den er tatsächlich erreichen konnte.

Was bedeutet das?

Dieser Ansatz «belebt» die gelähmte Person: Man kann weitergehen, auch ohne allwissenden Plan.

Und das gilt nicht nur für Wissenschaft. Auch im Alltag ist der nächste sinnvolle Schritt oft besser als ein grandioser Masterplan. Statt «das Problem komplett lösen» kann man eine kleine Verbesserung machen. Statt «die Ehe retten» kann man heute ein ehrliches Kompliment machen. Statt «die Firma umkrempeln» kann man einem Kunden freundlich begegnen.

Es nimmt Druck raus: Man muss nicht alles verstehen, um anfangen zu handeln.

Der einzige «Plan» ist: Tu etwas Kleines und Gutes, von dem du begründet glaubst, dass es hilft.

Spieltheorie

Ah ja, Spieltheorie: das oft belächelte Stiefkind der Soziologie. Man wirft ihr vor, sie sei «unwissenschaftlich», weil sie mit Modellen arbeitet, die offensichtlich nicht die ganze Realität abbilden. Das stimmt — aber das gilt für fast alle Modelle. Und die Einsichten können trotzdem wertvoll sein.

Spieltheorie versucht, menschliche Interaktionen als Spiel zu formalisieren und dann zu analysieren, was unter bestimmten Annahmen rationales Verhalten wäre.

Ein klassisches Beispiel ist die «Tragödie der Allmende» (Tragedy of the Commons). Eine gemeinsame Wiese gehört dem Dorf. Alle Bauern dürfen ihre Kühe darauf weiden lassen. Das Problem: Jeder einzelne Bauer profitiert davon, noch eine Kuh zusätzlich zu schicken. Die Kosten — Überweidung, schlechtere Wiese — werden aber von allen gemeinsam getragen.

Selbst wenn niemand «böse» ist, entsteht so ein Mechanismus, der die gemeinsame Ressource zerstört. Und genau das ist die Pointe: Nicht moralische Kategorien sind zuerst entscheidend, sondern Anreize und Strukturen.

Spieltheorie liefert hier eine Denkweise: Welche Regeln würden Kooperation stabil machen? Wie verändern sich Ergebnisse, wenn man Gegenseitigkeit, Reputation oder Sanktionen einbaut? Und wenn ein System sogar unter der Annahme egoistischer Akteure stabil wäre, dann ist das ein starkes Indiz, dass es auch in der Realität robust ist.

Was bedeutet das?

Neben konkreten Ergebnissen aus Modellen bringt Spieltheorie etwas sehr Nützliches: Sie zwingt dazu, Egoismus als relevante Kraft ernst zu nehmen.

Egoismus wird oft moralisch abgewertet. Spieltheorie ist darin fast provokativ neutral: «Gut» ist erst einmal, was mir nützt. Das ist unbequem — aber hilfreich, wenn man die Welt verstehen will.

Das relativiert auch Moral und Ethik in einem bestimmten Sinn: Welche Wirkung hat «gutes Handeln», wenn es gegenüber anderen Strategien nicht bestehen kann? Handlungen müssen stark genug sein, um sich in der Welt zu behaupten.

Und ähnlich wie bei der Gradientenoptimierung schrumpft der Horizont: Nicht «die Welt retten» ist die Aufgabe, sondern in einer lokalen und zeitlich begrenzten Situation die bestmögliche Entscheidung zu treffen.

Evolution simulieren

Viele Menschen behaupten, dass Evolution unmöglich ist, weil nichts aus Zufall entstehen kann. Aber ist Zufall der einzige Faktor in der Evolution? Was, wenn andere Kräfte im Spiel sind, die die Vielfalt und Komplexität des Lebens lenken? Um diese Frage zu erforschen, habe ich einen Algorithmus entwickelt, der Evolution simuliert und überraschende Ergebnisse zeigt.

Der Code ist unter GitHub verfügbar.

Stell dir eine leere Welt vor. Ohne Sinn und Möglichkeiten. In dieser Welt taucht ein Roboter auf. Er kann nichts sehen. Sein visueller Input ist so leer wie das Universum, in dem er erschaffen wurde. Der Roboter hat keinen Willen. Er tut einfach etwas Zufälliges. Was er nicht weiss: Es gibt 50 andere Roboter, die gleichzeitig erschaffen wurden. Sie verhalten sich alle unterschiedlich. Einige wandern herum, einige stehen still, und einige drehen sich im Kreis. Dann tritt plötzlich eine änderung bei einem Roboter auf. Sein Input ändert sich. Er sieht etwas Rotes. Die anderen am selben Ort sehen es auch. Sie verhalten sich zufällig. Manche bewegen sich darauf zu, manche nicht. Was ist dieses rote Ding? Je näher ein Roboter kommt, desto klarer sieht er es, bis er es berühren kann. Von nichts bist du gekommen, und zu nichts wirst du zurückkehren. Der Roboter verschwindet. Jeder Roboter, der das rote Ding berührt, verschwindet. Er stirbt. Im Laufe der Zeit bleiben nur die Roboter, die sich entweder nicht bewegen oder vermeiden, das rote Ding zu berühren. Das geschieht automatisch, einfach durch die Gesetze dieses Universums. Wenn Roboter verschwinden, werden neue zufällig erschaffen und in die Welt geworfen, um die Bevölkerung vor dem Aussterben zu bewahren. Und es ward Abend und Morgen. Der erste Tag.

Am zweiten Tag stand ihnen ein neues Problem gegenüber. Es gab Gerüchte über ein grünes Ding. Die meisten Roboter verhielten sich gegenüber den grünen Dingen gleich, da die Evolution vorsichtige Individuen begünstigte. Aber einige Roboter verschwanden einfach, ohne die roten berührt zu haben. Ihre Lebensspanne war abgelaufen, und sie hatten das Geheimnis des Überlebens nicht herausgefunden. Nun ja, die meisten hatten es nicht. Einige hatten das zufällige Verhalten, sich den grünen Dingen zu nähern. Und als sie sie berührten, geschah etwas Magisches. Erstens verlängerten sie unwissentlich ihre Lebensspanne, und zweitens reproduzierten sie sich. Sie erstellten eine Kopie von sich selbst, sehr ähnlich, aber leicht anders, mit einer zufälligen Variation im Verhalten. Das ändert alles. Anstatt nicht zu sterben, wurde Reproduktion das neue Ziel des Spiels. Bald vermieden alle Roboter das rote Zeug und suchten das grüne Zeug.

Jetzt kommt die nächste Etappe. Vorher war Vorsicht der Schlüssel. Bewege dich langsam, um das Risiko zu reduzieren, versehentlich die roten Minen zu berühren. Aber nach einiger Zeit wurden einige Roboter zufällig schneller, und sie waren immer die ersten bei den grünen magischen Früchten. Die vorsichtigen Roboter verhungerten, weil die schnelleren zuerst da waren. Geschwindigkeit ist jetzt der Schlüssel. Aber sie müssen jetzt mehr Risiken eingehen. Viele Roboter sterben jetzt wegen der Minen, aber solange sie sich schneller vermehren, dominieren sie diese Welt.

Die letzte Etappe. Jetzt haben die Roboter ohne menschliches Eingreifen nützliches Verhalten entwickelt, einfach weil sie dieser sehr spezifischen Umgebung ausgesetzt waren. Jetzt bleibt nur noch eine letzte Optimierung. Sie müssen langsam, aber sicher die Minen vermeiden und ihre Basisgeschwindigkeit maximieren. Nach dieser Entwicklung wird ein Gleichgewicht erreicht, und aus reiner Zufälligkeit ohne Programmierung ist intelligentes Verhalten in Bezug auf diese Umgebung entstanden.

---

Nicht-optimierte Roboter

Optimierte Roboter

Sichtfeld des Roboters visualisiert

PyTorch ist langsam und schnell unter Windows

Für ein Projekt bei der Arbeit musste ich ein neuronales Netzwerk trainieren. Ich habe einen Windows-Laptop mit einer guten GPU. Wenn ich unter Windows entwickle, ist mein erster Ansatz, im WSL (Windows Subsystem für Linux) zu arbeiten. Und es funktionierte auch. Ich bemerkte jedoch, dass meine GPU-Nutzung nicht optimal war. Deshalb habe ich es auch unter nativem Windows ausgeführt.

Metric	Nativ Windows	WSL
Training	2.2 it/s	1.3 it/s
Eval	~5 it/s	1.5it/s
Thread-Erstellung	46s	~5s
Thread-Erstellung	54s	~5s
GPU-Nutzung Training
GPU-Nutzung Val

Ich habe dieses Wissen genutzt, indem ich jetzt unter nativem Windows laufe, aber mit persistenten Workers, sodass die Threads nicht in jeder Epoche neu erstellt werden müssen.

Natürlich ist dies nur ein Beispiel. Mit einer anderen PyTorch-Version könnte sich das ändern. Vielleicht verhält es sich mit einer anderen GPU anders.

Die langsame Thread-Erstellung ist ein bekanntes Problem, wenn man Foren betrachtet, aber die signifikante Leistungssteigerung bei Verwendung von nativem Windows war unerwartet.

Podman ist genauso schnell wie natives WSL.

Anaconda ist in diesem Setup auch nicht schneller als normales Python.

Neuronale Netzwerke komprimieren

Als ich mich um eine PhD-Position beworben habe, wollte ich dem Professor einen Grund geben, mich anzuheuern – also habe ich eine meiner Ideen umgesetzt. Ich vermutete, dass die Gewichte neuronaler Netzwerke zu dicht sind. Es gibt viel Redundanz. Die konventionelle Methode zur Reduktion der Komplexität besteht darin, einen Engpass in die Architektur des neuronalen Netzwerks einzuführen. Das ist jedoch eine ressourcenintensive Lösung. Anstatt die Anzahl der Gewichte zu reduzieren, erhöhen wir sie. Eine weitere Möglichkeit, die Komplexität eines Modells zu reduzieren, besteht darin, die Präzision der Gewichte zu senken, z.B. von 32-Bit auf 8-Bit. Das ist ein legitimer Ansatz, aber wenig inspirierend. Und es ist schwer zu glauben, dass das der einzige und richtige Weg für alle Situationen ist.

Meine Hypothese war, die Gewichtsmatrix mit einem gängigen Algorithmus wie JPEG zu komprimieren. Ich nahm MNIST und trainierte ein kleines CNN:

hidden_layer_size = 512
linear1 = torch.nn.Linear(784, hidden_layer_size, bias=True)
linear2 = torch.nn.Linear(hidden_layer_size, 10, bias=True)
relu = torch.nn.ReLU()

model = torch.nn.Sequential(linear1, relu, linear2)

Die Grösse von 512 für die Hidden Layers war die erste Zweierpotenz, die gute Ergebnisse lieferte.

Die 784 stammt aus der Eingabegrösse, die 28 × 28 beträgt.

Die Hidden Layer ist somit eine Liste von 512 verschiedenen 28 × 28 Matrizen.

Ich nahm jede Matrix und komprimierte sie mit JPEG auf eine Qualität von nur 20%, verlor also viele Informationen, wie hier zu sehen:

Zufällige unkomprimierte Gewichtsschicht

Dieselbe Gewichtsschicht, aber mit JPEG komprimiert

Die Test-Accuracy sank nur von 97% auf 96%, was angesichts der geringeren Auflösung im latenten Raum bemerkenswert ist.

Die Gewichte in einem CNN sind sehr redundant. Mit einem naiven Algorithmus wie JPEG können wir die Dimensionalität deutlich reduzieren. Für die Vorwärtspropagation im Netzwerk brauche ich jedoch die Matrixversion von JPEG, die keinen Speicher spart. Die komprimierten Gewichte könnten verwendet werden, um sie über ein Netzwerk mit geringer Bandbreite wie das Internet zu übertragen. Wir können jedoch einige fundierte Annahmen treffen:

• Die Wahl einer anderen Basis für die Gewichte, etwa die Fourier-Basis, anstatt ein unabhängiges Gewicht an jeder Position, könnte die Erstellung grosser Netzwerke mit einer begrenzten Anzahl von Gewichten ermöglichen.
• Diese Methode könnte auch in tiefen neuronalen Netzwerken funktionieren.
• Die Entwicklung einer differenzierbaren Methode, die mit wenigen Parametern erhebliche Komplexität erzeugt, könnte die Rechenfähigkeiten bestehender Hardware verbessern.

Ein gescheitertes Experiment: Gewichte innerhalb eines neuronalen Netzwerks komprimieren

In neuronalen Netzwerken scheint es viele Gewichte zu geben, um auszudrücken, was wir wollen. Also dachte ich daran, die grundlegendste Operation – nämlich die Matrixmultiplikation – in einer komprimierten Version zu implementieren. Statt einfach zwei Matrizen zu multiplizieren, komprimieren wir die Gewichtsmatrix und multiplizieren diese. Ich benutzte Wavelet-Zerlegung mit einem Schwellenwert. Mein Ansatz war erfolgreich darin, die Gewichtsmatrix während des Trainings zu 75% auf Null zu setzen.

Ich benutzte so etwas:

coeffs = ptwt.wavedec(w_flat, "haar", mode="zero")
coeffs_thresh = tuple(
                torch.where(torch.abs(c) < threshold, torch.zeros_like(c), c)
                for c in coeffs
            )
w_compressed = ptwt.waverec(coeffs_thresh, "haar")

Während das Netzwerk folgendermassen aussah:

class NetFC(nn.Module):
    def __init__(self):
        super(NetFC2, self).__init__()
        self.fc1 = CompressedLinear(784, 128, zero_fraction=0.75)
        self.fc2 = CompressedLinear(128, 64, zero_fraction=0.75)
        self.fc3 = CompressedLinear(64, 10, zero_fraction=0.75)

    def forward(self, x):
        x = x.view(-1, 784)
        x = self.fc1(x)
        x = F.relu(x)
        x = self.fc2(x)
        x = F.relu(x)
        x = self.fc3(x)
        return x

Dieses Netzwerk hat rund 100k Parameter, von denen 75k Null sein werden.

Aber der Leistungsabfall war zu hoch. Ich konnte meinen MNIST-Loss nur auf 0,55 bringen, während ein Netzwerk ohne Kompression, aber mit weniger (25k) Parametern problemlos 0,15 erreichte.

Es war also ein interessanter Ansatz, aber nicht erfolgreich.